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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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4. Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de ff en el punto (x0,f(x0))(x_{0}, f(x_{0})) para el x0x_{0} dado.
a) f(x)=2x−3f(x)=\sqrt{2 x-3} en x0=6x_{0}=6

Respuesta

¡¡Ya vimos cómo se resuelven estos ejercicios, así que adelante!!

1. Planteamos la ecuación de la recta:
La ecuación de la recta es:

y=mx+b y = mx + b
Para el punto (x0,y0)(x_0, y_0) nos queda:
y0=mx0+b y_0 = mx_0 + b
donde m=f′(x0) m = f'(x_0) y y0=f(x0) y_0 = f(x_0) .

2. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente m=f′(x0) m = f'(x_0) :
f(x)=2x−3 f(x) = \sqrt{2x - 3}
La derivada de f(x) f(x) es:

f′(x)=(2x−3)′=122x−3⋅(2)=12x−3 f'(x) = \left( \sqrt{2x - 3} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 3}} \cdot (2) = \frac{1}{\sqrt{2x - 3}}

Ahora evaluamos la derivada en x0=6 x_0 = 6 para obtener la pendiente de la tangente:

m=f′(6)=12(6)−3=112−3=19=13 m = f'(6) = \frac{1}{\sqrt{2(6) - 3}} = \frac{1}{\sqrt{12 - 3}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}

3. Ahora calculemos y0=f(x0) y_0 = f(x_0) :
f(6)=2(6)−3=12−3=9=3 f(6) = \sqrt{2(6) - 3} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:

y0=mx0+b y_0 = mx_0 + b

3=13⋅6+b 3 = \frac{1}{3} \cdot 6 + b

3=2+b 3 = 2 + b

$
b = 3 - 2 = 1 $

4. Reemplazamos los valores de m m y b b en la ecuación de la recta: y=13x+1 y = \frac{1}{3}x + 1

La ecuación de la recta tangente es y=13x+1 y = \frac{1}{3}x + 1 .

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alisson
24 de octubre 15:50
Buenas tardes profe Juli no entiendo por donde sale el (2) para multiplicar en la derivada, ¿no debe ser 1?, si es que es con la regla cadena.
0 Responder
Julieta
PROFE
29 de octubre 19:18
@alisson Hola! Sale de que la derivada de x\sqrt{x} es 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}, o sea, de la misma derivada por tabla.
1 Responder
Fernando
11 de junio 20:05
Hola Profe!! Una consulta esto estaría bien derivado? pregunto porque yo utilice el resultado de mi derivada de F'(X) para hallar el valor de M(pendiente) y me dio lo mismo a como resolviste arriba. y todo el ejercicio me salio bien pero la derivada me quedo diferente.2024-06-11%2020:02:03_2666008.png
0 Responder
Julieta
PROFE
17 de junio 12:26
@Fernando ¡Hola! Sí, está perfecto, es otra forma de expresarla pero son equivalentes ambas expresiones
0 Responder